满秩的性质

1 列满秩和行满秩

• 若$A​$列满秩，则$A^TA​$可逆

• 证明 $$因A列满秩，则Ax=0的解为\{0\}\\ 若Ax=0，则有A^TAx=0\\ 若A^TAx=0,则x^TA^TAx=(Ax)^T(Ax)=0, 则Ax=0\\ 因此A^TAx=0的解和Ax=0的解相同，都是\{0\}\\ 因此A^TA是可逆矩阵$$

• 若$A$行满秩，则$AA^T$可逆

• 证明： $$A^T列满秩，则(A^T)^TA^T=AA^T可逆$$

2 满秩矩阵相乘

• 内容1：任何矩阵$A_{mn}$和可逆矩阵$X$相乘，都有$Rank(A_{mn})=Rank(A_{mn}X)$

由于$X$相当于基本变换矩阵的乘积，基本变换不改变矩阵的秩

• 内容2：任何矩阵$A_{mn}$左乘列满秩矩阵$X$，都有$Rank(A_{mn})=Rank(XA_{mn})$ $$若XAx=0,则X^TXAx=0,则Ax=0\\ 若Ax=0，则XAx=0\\ 则XAx=0和Ax=0的解集一样，则Rank(XA_{mn})=Rank(A_{mn})$$

• 内容2：任何矩阵$A_{mn}$右乘行满秩矩阵$X$，都有$Rank(A_{mn})=Rank(A_{mn}X)$ $$Rank(A_{mn})=Rank(A_{mn}^T)=Rank(X^TA_{mn}^T)=Rank(A_{mn}X)$$