矩阵的平方根

1 定义

• 如果有$A=BB$, 则称$B$为$A$的平方根
• 对于A是(半)正定矩阵的情况，使用$A^{1/2}$表示唯一的半正定矩阵$B$, 有$B^TB=BB=A$

2 (半)正定的情况

• 当A是(半)正定矩阵时，存在唯一的(半)正定矩阵，使得$A=BB$, 即$B=A^{1/2}$

• 证明：

• 设$A$的特征值分解为$A=UDU^T$, 则只需要使得 $$B=UD^{1/2}U^T\\ BB=UD^{1/2}U^TUD^{1/2}U^T=UDU^T=A$$