微分¶

1 微分是一种线性映射¶

在数学分析角度，微分是一种线性映射
可微定义: 若 $D\in R^n$ 是开集， $f:D\to R^m$ 是所考虑的函数。对于 $x_0 \in D$ , 若存在常量 $A$ （也就是 $f'(x_0)$ ）使得对 $\Delta x=(x-x_0)$ , 有 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\\ \Delta y=A\Delta x+o(\|\Delta x\|)$ 则线性映射 $\Delta x\mapsto A\Delta x:R^n \to R^m$ 为 $f$ 在 $x_0$ 处的微分
可见，微分其实是相当于变量为 $\Delta x$ 的的线性映射 $A\Delta x=f'(x_0)\Delta x$ , 其代表了 $f(x_0+\Delta x)$ 的增量的线性部分(也是主体部分)

PS: 除了该定义，下式均只考虑标量 $R\to R$ 的情况

即微分算子 $d$ , 因此有有 $df$ 可以表示一个微分函数（映射）。且有 $df _{|x_0}(\Delta x) = f'(x_0)\Delta x$ 。
若 $x_0 \in D$ 均有该等式，则可以从微分函数可以写为函数的微分 $(微分函数)\forall x_0 \in D, df_{|x_0}(\Delta x)=f'(x_0)\Delta x \leftrightarrow (函数的微分)df=f'(x)\Delta x$

注意这里的函数的微分，其实也是一个映射，且是 $x \mapsto (\Delta x \mapsto A\Delta x): R^n\mapsto (R^n \mapsto R^m)$

同时，由于 $dx_{|x_0}(\Delta x)=1 \Delta x$ ，也可以简写为 $dx_{|x_0}(\Delta x)=1 \Delta x \leftrightarrow dx=\Delta x$
因此有 $df=f'(x)dx$

可导定义:若 $D\in R^n$ 是开集， $f:D\to R^m$ 是所考虑的函数。对于 $x_0 \in D$ , 若下式存在 $f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 则可导， $f'(x_0)$ 称为 $f$ 在 $x_0$ 的导数
若 $x_0\in D$ 均可导，可以得到导函数定义 $f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 导函数是一个映射 $x\mapsto f'(x)$
可微和可导是等价的：
如果可微，则有可导，且导数就是 $A$ $\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = \frac{A\Delta x +o(\|\Delta x\|)}{\Delta x} = A$
如果可导，则必定可微, 且对应的常量 $A$ 就是导数 $\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0) \\ \rightarrow f(x_0+\Delta x)-f(x_0) = f'(x_0)\Delta x+o(\|\Delta x\|)$